复杂系统下的不变扩展卡尔曼滤波
由前面的文章可知，不变性要靠合理的状态误差设计来实现。但在更复杂的系统中，为所有状态量找到一个满足不变性的状态误差是很困难的，甚至一些状态是不可能被表示为群运算的。在存在这类状态量的系统中，有没有可能保留InEKF的主要优点呢（主要指一致性方面的优点）？答案是肯定的。
考虑这样一类系统，其系统方程如下：
抛开矢量不看，上式就是之前讨论的普通系统方程，引入矢量后，系统的变化不仅依赖当前时刻的状态和输入，还依赖另外一个随着时间变化的量。在普通的EKF中，可以将也融入到需要估计的状态量中。这里之所以分开写，是为了在InEKF中区分可以被描述为群元素的状态量，和不能被描述为群元素的量。
以一个完整的IMU系统为例，系统方程为：
其中分别为IMU的gyro bias和accelerator bias，他们满足Random Walk模型，即随时间的变化率是一个满足高斯分布的白噪声。
由之前的文章可知，能够构成一个群元素并且使得最终导出的误差系统方程满足不变性（系统矩阵与状态无关），但如果将两个bias也放入群中，就很难找到一个状态误差使其满足不变性了。也就是说，就是上文中的，而就是上文中的。
为了处理这类系统，可以将状态误差定义为如下形式：
即右不变误差与普通线性误差的笛卡尔积，是一种混合误差。
混合误差的系统方程
现在需要推导在混合误差下，该误差的系统方程是怎样的。直接以上文的IMU系统为例，令
以及
推导方式模仿第二篇文章中普通系统的推导，也就是计算：
其中的定义和上一篇文章中一样
仅在的计算中有少许不同，分别为
以及
以及
而由于是普通的线性误差，推导就比较简单了，即
综上，模仿上一篇文章的处理方式，可以得到整个系统状态误差的系统方程：
将其写为更紧凑的形式，容易看出带有bias的IMU系统与之前不带bias的IMU系统之间的联系
其中就是上一篇文章中，不带bias的IMU系统的系统矩阵，是其噪声矩阵。带有bias的IMU系统，只是在原来的系统矩阵上进行了增广。这个结论适用于所有满足本文开头所定义的系统形式。
可以看到，在这种混合误差形式下，系统矩阵不再是一个常量了，每个时刻的系统矩阵与当前状态的估计值有关。但是，这种联系只通过bias或噪声等小量引入。可以证明对于这样的系统方程，一致性仍然能够保证。同时大量的实验也表明，这种“非完美”的InEKF在鲁棒性和收敛性上仍然优于传统的EKF。
混合状态的更新
之前已经知道，观测误差与状态误差的线性关系为
其中是观测噪声。
现在设系统的观测量不变（即是无法直接观测到的），但是状态误差变成了，显然线性关系应该变为
以带有bias的IMU系统为例，就是上一篇文章中的观测矩阵，即
其中是观测到的landmark在世界系下的坐标。而观测误差与bias的误差没有直接关系，即
同理，线性状态误差的更新变为了：
卡尔曼增益的计算都一样，即
只是现在的，状态的协方差矩阵在维数上也有相应改变。
最终，混合状态的更新方式也采用混合的形式，能表示为群元素的部分采用指数更新，不能表示为群元素的部分采用普通的线性更新，即
总结
设系统方程满足如下形式：
其中都是需要估计的量，但是是一个群元素（比如中的元素），是一个矢量，一般不可直接观测。则该系统在InEKF框架下，具有如下形式的系统矩阵和观测矩阵：
且卡尔曼增益
状态的更新方式为
