Cross Product

运算法则

逆交换

$$\mathbf a \times \mathbf b = -\mathbf b \times \mathbf a$$

分配率

$$\mathbf a\times(\mathbf b+\mathbf c)=\mathbf a\times \mathbf b + \mathbf a\times \mathbf c$$

数乘

$$(s\mathbf a)\times \mathbf b=\mathbf a\times (s\mathbf b)=s(\mathbf a\times \mathbf b)$$

不满足结合律

$$(\mathbf a\times \mathbf b)\times \mathbf c \neq \mathbf a \times(\mathbf b\times \mathbf c)$$

混合积（循环置换）

$$\mathbf a\cdot(\mathbf b\times \mathbf c)=\mathbf c\cdot(\mathbf a\times \mathbf b)=\mathbf b\cdot(\mathbf c\times \mathbf a)$$

Triple Product

$$\mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c)=\mathbf b\cdot(\mathbf a\cdot \mathbf c)-\mathbf c\cdot(\mathbf a\cdot \mathbf b)$$

其中，设$\mathbf a,\mathbf b,\mathbf c$两两不共线，令$\mathbf v=\mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c)$，则$\mathbf v$一定在$\mathbf b,\mathbf c$构成的平面上。因为$\mathbf v$要垂直于$\mathbf b\times \mathbf c$，$\mathbf b\times \mathbf c$是平面$\mathbf b\mathbf c$的法线，垂直于平面法线的向量一定在平面上。

Jacobin Identity

$$\mathbf a\times(\mathbf b\times \mathbf c)+\mathbf b\times(\mathbf c\times \mathbf a)+\mathbf c\times(\mathbf a\times \mathbf b)=0$$

Sum of Two Product

$$\mathbf a\times \mathbf b+\mathbf c\times \mathbf d=(\mathbf a-\mathbf c)\times(\mathbf b-\mathbf d)+\mathbf a\times \mathbf d+\mathbf c\times \mathbf b$$

其他关系

$$(\mathbf a\times \mathbf b)\times(\mathbf a\times \mathbf c)=(\mathbf a\cdot(\mathbf b\times \mathbf c))\mathbf a$$

显然，在上式中，$(\mathbf a\times \mathbf b)$与$(\mathbf a\times \mathbf c)$都和$\mathbf a$垂直，所以必然在一个平面上，两者的叉乘一定与该平面的法线$\mathbf a$平行。

$$(\mathbf a\times\mathbf b)\cdot(\mathbf c\times\mathbf d)=(\mathbf a\cdot\mathbf c)(\mathbf b\cdot\mathbf d)-(\mathbf a\cdot\mathbf d)(\mathbf b\cdot\mathbf c)$$

注意上式的结果是

与矩阵的关系

叉乘矩阵

$$[\mathbf a]_{\times}=\begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}$$ $$\mathbf a\times \mathbf b=[\mathbf a]_{\times}\mathbf b$$

叉乘矩阵的幂循环

$$\begin{aligned} \\ [\mathbf a]_{\times}^2&=\mathbf a\mathbf a^T-\mathbf I \\ [\mathbf a]_{\times}^3&=-[\mathbf a]_{\times} \end{aligned}$$

根据上面的最后一式，可以得到叉乘矩阵从4次幂开始的循环模式，循环节长度为4：

$$\begin{aligned} \\ [\mathbf a]_{\times}^4&=-[\mathbf a]_{\times}^2 \\ [\mathbf a]_{\times}^5&=[\mathbf a]_{\times} \\ [\mathbf a]_{\times}^6&=[\mathbf a]_{\times}^2 \\ [\mathbf a]_{\times}^7&=-[\mathbf a]_{\times} \end{aligned}$$

旋转不变性

设$\mathbf R$是一个旋转矩阵，即正交且$det(\mathbf R)=1$，则

$$(\mathbf R \mathbf a)\times(\mathbf R \mathbf b)=\mathbf R(\mathbf a\times \mathbf b)$$

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